factorizacion

FACTORIZACIÓN 

Factorizar es expresar un polinomio como el producto de 2 o mas polinomios de menor grado que el original.

·            X² + 5x-14

       (x-2) (x+7)

·        (x-3) (x² +3x+9)

X³ -27

factorización de binomios

para factorizar binomios,cuando no tiene factor comun.

(x-a) (x+a) = x² –a²

(x-a) ( x²+ax+a² = x³+a³

(x+a) (x²-ax+a²)= x³+a³

Ejm

:

3x²y⁵-15xy⁶

Factor común en números=3     

Factor común en letras= xy⁵

3xy⁵ [x-5y]

5a²b³ c+10 a³b²c

5 a² b² c [b+2]

(a+3b) (m+n)-2b(n+m)

(m+n)[(a+3b) -2b]

(m+n)[a+3 b-2b]

(m+n)[a+b]

m (2 a+b)+(2 a+b)

(2 a+b)[m+1]

cuando no hay factor comun 

x² -16= x² -4²

(x-4) (x+4)

m⁶ -16n²

(m³)² –(4n)²

=(m³ – 4n) (m³ + 4n) 

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

(x+a)(x+b) = x²+(a+b) x+ab

(ax+by) (cx+dy)=ac² +(ad+bc) xy +bdy²

(x⁺_- a)² = x²+2ax+a²

Ejm

Cuando tiene factor comun

25x³ y-5x²y³+35xy²

5xy[5x² -3xy²+7]

12m²n+24m³n²-36m⁴n³

12m²[1+2mn-3m²]

Si no tienen factor común

 X⁴ +11x² +28

(x²+4) (x²+7)

X²+15x-51

(x+17) (x-3)

3m²-7m-20

(3m+5) (m-4)

BINOMIO CUADRADO PERFECTO

Cuando el primero y el ultimo tienen raiz exacta y el de la mitad la misma del exponente 

 25x²-70xy+49y²

(5x-7y)²

36x²+84xy +49y²

(6x+7y)²

X²-10x+25

(x-5)²

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN 

Factorizo por binomios cuando son mas de 4 términos

a²+ab+ac+bc

(a²+ab) +(ac+bc)

a (a+b) +c (a+b)

(a+b)[a+c]

a³+27b³ +a+3b

(a³+27b³)+(a+3b)

(a+3b) (a²-3ab+9b²)+(a+3b)

(a+3b)[(a²-3ab+9b²+]

(a+3b)[a²-3ab+9b²+1]

POLINOMIOS RACIONALES

  3__         

x+2

_x²-5

x²+5x+6

a²-ab+a-b

6a²-6ab

(a²-ab)+(a-b)

6a(a-b)

a(a-b+(a-b)

6a(a-b)

(a-b)[a+1] = a+1

6a(a-b)         6a

 POLINOMIOS RACIONALES  MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 

Multiplicación: 

a²+7a+10 * a²-3a-4 *a³-2a²-3ª

a²-6a-7       a²+2a-15  a²-2a-8

(a+5)(a+2) * (a-4)(a+1) * a(a²-2a-3)

(a-7)(a+1)   (a+5)(a-3)      (a-4)(a+2)

(a+5)(a+2) * (a-4)(a+1) * a(a-3)(a+1)

(a-7)(a+1)     (a+5)(a-3)    (a-4)(a+2)

=a(a+1)

   (a-7)

División:

m²+8m+16 ÷ m²-11m+24

m²-m-20         m²-8m+15

m²+8m+16*m²-8m+15

m²-m-20       m²-11m+24

m²+8m+16*m²-8m+15

m²-m-20       m²-11m+24

(m+4)²           * (m-5)(m-3)

(m-5)m+4)  (m-8)(m-3)

=(m+4)

 (m-8)

¿Que es una fracción?

La fracción es un numero que se obtiene de dividir una totalidad en partes iguales.

ejemplo: Podemos tomamos una sandía y partirla en varias partes iguales 

si el total de la sandía es 6 y tomamos 5 de sus partes tendremos 5/6 y si  le sumamos 4/6 tendríamos una sandía 1 1/2.

Las fracciones tienen un numerador y un denominador; el numerador es el numero que representa la cantidad que tomamos y el denominador es el numero que representa el valor total. 

No olvides el numerador es el numero que ponemos arriba y el denominador el que va a bajo.

PROPIEDADES

Propiedad Conmutativa:

esta propiedad lo que nos dice es que podemos cambiar el orden de la operación sin alterar el resultado; 

esta la aplicamos en la suma y la multiplicación. osea :

a+b = b+a

a*b = b*a

ejemplo:

1 + 1 = 1 + 1

 2     4   4     2

1  * 1 = 1 * 1

 2     4    4    2

Propiedad Distributiva:

Esta propiedad nos permite reescribir expresiones en las que estamos multiplicando un número por una suma o una resta. la propiedad dice que el producto de la suma o resta, es igual a la suma o resta de los productos. osea :  

 a ( b+ c) = a* b + a* c

de igual forma ocurre con la resta

 a ( b - c) = a* b - a* c

ejemplo:

  7 (2 + 3) = 7 * 2 +   7 * 3

   3  5   5       3   5       3  5

7 = 14  + 7

3     15     5

7  = 7

3     3

SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 

Suma:

Para sumar fracciones se multiplica cruzado y luego los productos se suman (en el numerador); y se multiplican los denominadores. osea: 

a + c = ad + bc

b    d         bd

y cuando el denominador es el mismo:

a + c  = a+c

b    b       b

Veamos un ejemplo:

El jefe de Cristian  repartió los trabajos de contabilidad de urgencia entre algunos de los contables. A Cristian le tocó una cuarta parte (1/4) de los trabajos de urgencia más la tercera (1/3) parte del trabajo que le iba a tocar al empleado que faltó. En total , ¿que parte del trabajo tiene que realizar Cristian?

1   +  1    =    1(3) + 4(1)  = 3  + 4   =  7 4        3               (4)(3)           12        12

R/: le toco 7/12 de los trabajos de urgencia.

veamos un ejemplo mas:

A María le tocaba una tercera parte de la herencia de su padre. Su madre le cedió a ella dos quintas partes adicionales  que le tocaban a ella. ¿En total qué parte de la herencia la tocó a María?

Solución

1 + 2  = 1(5) + 3(2) = 5  + 6  = 11

3    5            15                15       15

A María le tocó  11/ 15 de la herencia de su padre.

Restas:

Para la resta se utilizan las mismas normas o proceso que en la suma solo que se resta. osea:

a - c  = ad - bc

b   d        bd

y cuando el denominador es el mismo:

a - c  = a - c

b    b       b

veamos unos ejemplos:

 Una madre de familia tiene 5/9 de una tableta de chocolate y le da a su hija Elizabeth 2/9. ¿Cuánto le queda?

5 - 2 = 5-2 = 3   

9    9      9      9

en este ejercicio podemos simplificar lo (dividiendo por 3):

3  = 1

9     3

veamos otro ejemplo:

A Pedro le  toca en herencia 4/6 de una finca y vendió 1/4 de ella. ¿De qué fracción es dueño?

4 - 1 = 16 - 6 = 10  =  5 

6    4      24       24     12

R/: Pedro es dueño de 5/12 de la finca 

Multiplicación:

Para multiplicar fraccionarios tomamos los numeradores los multiplicamos, y luego igual con los denominadores, y si se puede simplificamos. osea:

a x c =  ac 

b   d      bd

veamos un ejemplo:

Ana, Sara y Luis han ido a pasar la tarde al campo. Al final de la caminata, al lado del río, han parado a merendar. Comieron unas chocolatinas y un tercio de la tortilla que llevaban. Ahora, después de bañarse en el río y tomar el sol durante un rato, vuelven a tener hambre, así que deciden comer otro poco de tortilla. Dividen el trozo de tortilla que les había sobrado en cuatro partes y se proponen comer tres de ellas. Comerán, por tanto, 3/4 de 2/3. Para saber qué fracción representa lo que se van a comer con respecto a la tortilla completa hemos de multiplicar ambas fracciones:

3 x 2 = 6  = 3

 4   3    12    6 

 practiquemos un poco mas:

* 3 x 4 = 12  = 6

   5     2    10     5

*  5  x 2 = 10  = 5  =  1 

    6     5     30    15     3

División:

En la división debemos pasarla a multiplicación y luego hacer la operación como si se estuviera multiplicando normalmente. osea: 

    a  ÷ b   =  a x  d  = ad    

 c     d       c    b     cb 

veamos un ejemplo:

Para la excursión han repartido una botella de zumo de 3/4 de litro en botellas de 1/5 de litro. Para calcular cuántos botellas necesitaban han tenido que dividir la cantidad total de zumo entre el contenido de cada botella:

3 : 1 = 3 x 5 = 15

4   5    4    1     4

veamos unas divisiones mas:

Paula tiene 5/8 de una torta que hizo su mamá y la tiene que repartir en 4/3 ¿ Cual seria el resultado?

5 : 4 = 5 * 3 = 15

8   3    8     4     32

INTERÉS SIMPLE

INTERÉS

El interés es un índice que, a través de un porcentaje, permite expresar la rentabilidad de los ahorros o el costo de un préstamo.

El concepto de interés tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un préstamo debe pagar un cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un cierto interés por ese dinero.

Componentes del préstamo o depósito  a interés

En un negocio de préstamo o depósito a interés aparecen:

EL CAPITAL: es el monto de dinero inicial, prestado o depositado.

LA TASA: es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés; también llamada tanto por ciento.

EL TIEMPO: durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses.

EL INTERÉS: es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo.

El interés, como precio por el uso del dinero, se puede presentar como interés simple o como interés compuesto.

INTERÉS SIMPLE

El interés simple se refiere a los intereses que produce un capital inicial en un período de tiempo, el cual no se acumula al capital para producir los intereses del siguiente período; concluyéndose que el interés simple generado o pagado por el capital invertido o prestado  no  se re invierte  y cada vez se calcula sobre la misma base.

En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una  regla de tres simple. 

 Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto:

El interés   " I  " que produce un capital
Capital inicial  "C"
Tiempo " t "
La tasa de interés " i "
Esto se presenta bajo la fórmula: I = C * i * t
 i está expresado en tanto por uno                                                
 t está expresado en años, meses o días.
Tanto por uno es lo mismo que  .
Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda:
 Si la tasa anual se aplica por años.
 Si la tasa anual se aplica por meses

 Si la tasa anual se aplica por días

Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin más datos, se subentiende que es anual.
Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo.
El interés simple es de poco o nulo uso en el sector financiero formal, pues este opera bajo el interés compuesto. El interés simple es utilizado por el sistema financiero informal, por los prestamistas particulares y prenderías.

EL CALCULO DEL INTERÉS SIMPLE ES ASÍ:

Supongamos un capital de $10.000.000 a un interés del 5% mensual prestado por 12 meses.
Tendremos entonces (10.000.000*0.05)*12 = 6.000.000. El rendimiento de ese préstamo durante los 12 meses es de $6.000.000 que corresponde a un rendimiento de $500.000 mensuales.
Vemos que el rendimiento mensual es constante, esto debido a que siempre se calcula sobre el capital inicial que en este caso es de $10.000.000. [10.000.000 *5% = 500.000] 
FORMULAS

vp: Valor presente
vf: valor futuro
i: tasa de interés
I: interés o ganancia
t: tiempo

vf = vp  x  1  x  i  x  t

I  = vp  x  i  x  t




EJERCICIOS


1. Calcular el interés simple producido por un capital de $ 18.000.000 invertido durante 3 años a una tasa del 5% anual.
Tasa se aplica por años.
Que es igual a I = C * i* t
En la cual se ha de expresar el 5 % en tanto por uno, y se obtiene 0.05
I = 18.000.000 *0.05*3 = 2.700.000
A una tasa de interés simple de 5% anual, al cabo de 3 años los $ 18.000.000 han ganado
 $ 2.700.000 en intereses


2. Calcular el interés simple producido por $1.800.000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 6 %.
La tasa se aplica por días.
Que es igual a I = C*i*t
En la cual se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06
I=1.800.000*0.06*90/365=26.630
El interés simple producido al cabo de 90 días es de $26.630


3. Una compañía solicita un préstamo de $35.000.000 por 3 años a una tasa de interés simple  trimestral de 4.5%.
Cuál es el valor total que debe pagar por el préstamo solicitado?

Vp= $350.00.000
Vf=?
I = 4.5%  4.5/100= 0.045
t= 3 años  12 trimestres

vf= 35.000.000(1+0.045 x 12) = $53.9000.000 valor total a pagar por el préstamo.


4.Una persona invierte $ 2.000.000 mas al 8%  que al 10%
  y recibió un total por intereses de $700.000 por un año.

Cuanto invirtió en cada tasa?

X= 10%
X+ 2.000.000  ---------8%

0.10 X   + 0.08 (X + 2.000.000)= 700.000
0.10 X + 160.00+ 0.08 X = 700.000-160.000
0.18X = 540.000
X= 540/0.18      X= 3.000.000

X= 3.000.000-----10%

3.000+2.000.000= 5.000.000-----8%